Water - air seepage - thermal coupled – vapour diffusion 2D/3D constitutive law for solid elements

This law is only used for water seepage - air seepage-thermal coupled and vapour diffusion for non linear analysis in 2D/3D/2nd gradient porous media.

\[ \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} (\rho_s . n . S_{r,w}) + div(\rho_w \vec{q_l})}_{\text{Liquide}} + \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} (\rho_v . n . S_{r,g}) + div(\rho_v \vec{q_g})}_{Vapeur} = 0 \]

En partant de l’équation de Darcy, la vitesse du liquide (Volume de fluide par unité de surface de sol) est donnée par : \[ \vec{q_l} = - \frac{k_w}{\mu_w}\left[ \vec{grad}(p_w) + g \rho_w \vec{grad}(y)\right]\ \text{où}\ k_w = K_w \frac{\mu_w}{\rho_w g}\left[ m^2\right] \]

La vapeur se déplace uniquement dans les pores occupés par la phase gazeuse et le trajet qu'elle parcourt dépend de la tortuosité : \[ \vec{i}_v = - n S_{r,g} \tau D \rho_s \vec{grad} \omega_v \] Où $\omega_v = \rho_v/\rho_g$ est la teneur massique d’air sec dans le mélange gazeux.

1. Viscosité dynamique $\mu_w$: \[\mu_w (T) = \mu_{w,0} - \alpha_w^T \mu_{w0}(T-T_0)\]
2. Masse volumique $\rho_w$: \[\rho_w (T, p_w) = \rho_{wo}\left[ 1+\frac{p_w-p_{w0}}{\chi_w} - \beta_w^T (T-T_0) \right]\]
3. Perméabilité intrinsèque $k_w$:
   Dépendance avec le degré de saturation $S_w$ : $k_{r,w} = f(S_w)$ avec $k_{w,eff} = k_f k_{r,w}$
4. Degré de saturation $S_w$:
   Dépendance avec la succion $s = p_a - p_w : S_w = f(s)$

\[\frac{\partial}{\partial t} (\rho_a . n . S_{r,g}) + div(\rho_a \vec{q_g}) + div(\vec{i_a}) = 0\]

En partant de l’équation de Darcy , la vitesse de la phase gazeuse est donnée par : \[ \vec{q_g} = - \frac{k_g}{\mu_g}\left[ \vec{grad}(p_g) + g \rho_g \vec{grad}(y)\right]\ \text{où}\ k_g = K_g \frac{\mu_g}{\rho_g g}\left[ m^2\right] \] La vitesse de diffusion de l'air sec est liée à un gradient de la masse volumique de l'air. En utilisant la théorie de la diffusion adaptée au cas des milieux poreux, nous pouvons écrire : \[ \vec{i}_a = - n S_{r,g} \tau D \rho_g \vec{grad} \omega_a = -\vec{I}_v \] Où $\omega_a = \rho_a/\rho_g$ est la teneur massique d’air sec dans le mélange gazeux.

1. Viscosité dynamique $\mu_a$ : dépendance avec la température \[\mu_a (T) = \mu_{a,0} - \alpha_a^T \mu_{a0}(T-T_0)\]
2. Masse volumique $\rho_a$ :
   Hypothèse : L’air est considéré comme un gaz parfait. \[\rho_a (T, p_a) = \rho_{a,0}\frac{p_a}{p_{a,0}}\frac{T_0}{T} \]
3. Perméabilité intrinsèque $k_g$:
   Dépendance avec le degré de saturation $S_g$ : $k_{r,g} = f(S_g)$ avec $k_{g,effectif} = k_{g, intrinsic}k_{a,w}$
4. Degré de saturation en liquide $S_g$:
   Dépendance avec la succion $s = p_g - p_w$
   $S_g = 1-S_w$ d’où voir partie liquide

\[\dot{S_T} + \dot{E}_{H_2O}^{w\rightarrow v}L + div(\vec{V}_T) - Q_T = 0\] Où $S_T$ représente la quantité de chaleur emmagasinée, $L$ la chaleur latente de vaporisation, $\vec{V}_T$ le flux de chaleur et $Q_T$ une source de chaleur en volume.

Cette dernière équation peut être transformée en utilisant l'équation de bilan de la vapeur d'eau: \[ \dot{S_T} + \dot{S}_vL + div(\vec{V}_T) + div(\vec{V}_v) L - Q_T = 0 \]

La quantité d'enthalpie du système est définie comme la somme des contributions de chaque espèce du système: \[ S_T = H_m = \sum_i H_i = \sum_i \theta_i \rho_i c_{p,i} (T-T_0) \] Les contributions de chaque composante à l’enthalpie du système s'exprime selon : \[ \begin{array}{l} H_w = n.S_{r,w} \rho_w c_{p,w} (T-T_0) \\ H_a = n(1-S_{r,g})\rho_ac_{p,a} (T-T_0)\\ H_s = (1-n)\rho_s c_{p,s} (T-T_0)\\ H_v = n(1-S_{r,g})\rho_v c_{p,v} (T-T_0) \end{array} \] Un dernier terme, lié à la vaporisation de l’eau, contribue également à l'emmagasinement de chaleur et dépend de la quantité de vapeur et la chaleur latente de vaporisation. \[ H_{Lat} = nS_{r,g} \rho_{v} L \]

\[ \vec{V_T} + \vec{V_v}L = \underbrace{- \Gamma_m \vec{\nabla}T}_{conduction} + \underbrace{\left[c_{p,w}\rho_w \vec{q}_l + c_{p,a}(\vec{i}_a + \rho_a \vec{q}_g) + c_{pv}(\vec{i}_v+\rho_v\vec{q}_g)\right](T-T_0)}_{convection} + \underbrace{\left[\vec{i}_v + \rho_v \vec{q}_g\right] L}_{Latente} \]

1. $\rho_w, \vec{f_w}, S_w$: Voir partie eau
2. $\rho_a, \vec{f_a}, S_a$ : Voir partie air
3. Les conductivités thermiques $\Gamma_w,\Gamma_a$ et $\Gamma_s$ : \[\begin{array}{l}\Gamma_w(T) = \Gamma_{w,0} + \Gamma_{w,0} \gamma_w^T (T-T_0)\\ \Gamma_a(T) = \Gamma_{a,0} + \Gamma_{a,0} \gamma_a^T (T-T_0)\\ \Gamma_s(T) = \Gamma_{s,0} + \Gamma_{s,0} \gamma_s^T (T-T_0) \end{array}\]
4. Les chaleurs spécifiques $c_{p,w},c_{p,a}$ et $c_{p,s}$ :\[\begin{array}{l} c_{p,w}(T) = c_{p,w0} + c_{p,w0} H_w^T (T-T_0) \\ c_{p,a}(T) = c_{p,a0} + c_{p,a0} H_a^T (T-T_0)\\ c_{p,s}(T) = c_{p,s0} + c_{p,s0} H_s^T (T-T_0)\end{array}\]

Prepro: LWAVAT.F

The permeability $k_f$ is an \underline{intrinsic} permeability ($\left[L^2\right]$) $\boxed{ \begin{array}{l} k_{f, intrinsic} = K_f \frac{\mu_f}{\rho_f g}\\ \left[ L^2 \right] = \left[ LT^{-1} \right] \frac{ \left[ ML^{-1}T^{-1}\right]}{\left[ML^{-3}\right]\left[LT^{-2}\right]} \end{array}}$

Permeabilities in different directions can be input ( $I_{max}= 10$ ).The effect of these permeabilities will be summed.

Following empirical formulations for describing the evolution of the relative permeability, the thermal conductivity and saturation with the suction are possible: see Appendix 8. For any suction lower than air entry value (AIREV), the saturation is equal to SRFIELD value.
Kozeny Karman formulation: \[K = C_0 \frac{n^{EXPN}}{(1-n)^{EXPM}}\] $C_0$ is computed automatically from $C_0 = K_0 \frac{(1-n_0)^{EXPM}}{(n_0)^{EXPn}}$
GDR Momas formulation: \[ \frac{k}{k_0} = 1+EXPM\left[ \phi - \phi_0\right]^{EXPN}\ \text{où}\ EXPM = 2.10^{12}\ \text{et}\ EXPN = 3 \]

Coupling permeability-deformation formulation: (only in 2D) \[ K_{ij} = \sum_n K_n^0 (1+A\varepsilon_n^T)^3\beta_{ij} (\alpha_n) \] $\varepsilon_n^T$ tensile deformation
$\alpha_n$ crack orientation with horizontal
$A$ parameter of the crack

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In 2D state :

In 3D state :

= 26 in 2D cases
= 16 in 3D cases