====== WAVAT2 ====== ===== Description ===== Water - air seepage - thermal coupled – vapour diffusion 2nd gradient constitutive law for solid elements\\\\ The law definition and typical values of parameters for clay materials can be found in Corman (2024)((Corman, G. (2024). Hydro-mechanical modelling of gas transport processes in clay host rocks in the context of a nuclear waste repository. PhD thesis, University of Liège. https://hdl.handle.net/2268/307996)). ==== The model ==== This law is only used for water seepage - air seepage-thermal coupled and vapour diffusion for non linear analysis using the 2nd gradient porous media. === Conservation de la masse d’eau (Liquide + vapeur) === \[ \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} (\rho_s . n . S_{r,w}) + div(\rho_w \vec{q_l})}_{\text{Liquide}} + \underbrace{\frac{\partial}{\partial t} (\rho_v . n . S_{r,g}) + div(\rho_v \vec{q_g})}_{Vapeur} = 0 \] === Ecoulement du liquide et de la vapeur === En partant de l’équation de Darcy, la vitesse du liquide (Volume de fluide par unité de surface de sol) est donnée par : \[ \vec{q_l} = - \frac{k_w}{\mu_w}\left[ \vec{grad}(p_w) + g \rho_w \vec{grad}(y)\right]\ \text{où}\ k_w = K_w \frac{\mu_w}{\rho_w g}\left[ m^2\right] \] La vapeur se déplace uniquement dans les pores occupés par la phase gazeuse et le trajet qu'elle parcourt dépend de la tortuosité : \[ \vec{i}_v = - n S_{r,g} \tau D \rho_s \vec{grad} \omega_v \] Où $\omega_v = \rho_v/\rho_g$ est la teneur massique d’air sec dans le mélange gazeux. === Equations d’état du liquide === - Viscosité dynamique $\mu_w$: \[\mu_w (T) = \mu_{w,0} - \alpha_w^T \mu_{w0}(T-T_0)\] - Masse volumique $\rho_w$: \[\rho_w (T, p_w) = \rho_{wo}\left[ 1+\frac{p_w-p_{w0}}{\chi_w} - \beta_w^T (T-T_0) \right]\] - Perméabilité intrinsèque $k_w$: \\ Dépendance avec le degré de saturation $S_w$ : $k_{r,w} = f(S_w)$ avec $k_{w,eff} = k_f k_{r,w}$ - Degré de saturation $S_w$: \\ Dépendance avec la succion $s = p_a - p_w : S_w = f(s)$ === Conservation de la masse de l’air sec === \[\frac{\partial}{\partial t} (\rho_a . n . S_{r,g}) + div(\rho_a \vec{q_g}) + div(\vec{i_a}) = 0\] === Ecoulement de la phase gazeuse et l’air sec === En partant de l’équation de Darcy , la vitesse de la phase gazeuse est donnée par : \[ \vec{q_g} = - \frac{k_g}{\mu_g}\left[ \vec{grad}(p_g) + g \rho_g \vec{grad}(y)\right]\ \text{où}\ k_g = K_g \frac{\mu_g}{\rho_g g}\left[ m^2\right] \] La vitesse de diffusion de l'air sec est liée à un gradient de la masse volumique de l'air. En utilisant la théorie de la diffusion adaptée au cas des milieux poreux, nous pouvons écrire : \[ \vec{i}_a = - n S_{r,g} \tau D \rho_g \vec{grad} \omega_a = -\vec{I}_v \] Où $\omega_a = \rho_a/\rho_g$ est la teneur massique d’air sec dans le mélange gazeux. === Equation d’état de l’air sec === - Viscosité dynamique $\mu_a$ : dépendance avec la température \[\mu_a (T) = \mu_{a,0} - \alpha_a^T \mu_{a0}(T-T_0)\] - Masse volumique $\rho_a$ :\\ //Hypothèse// : L’air est considéré comme un gaz parfait. \[\rho_a (T, p_a) = \rho_{a,0}\frac{p_a}{p_{a,0}}\frac{T_0}{T} \] - Perméabilité intrinsèque $k_g$: \\ Dépendance avec le degré de saturation $S_g$ : $k_{r,g} = f(S_g)$ avec $k_{g,effectif} = k_{g, intrinsic}k_{a,w}$ - Degré de saturation en liquide $S_g$: \\ Dépendance avec la succion $s = p_g - p_w$ \\ $S_g = 1-S_w$ d’où voir partie liquide === Conservation en volume de la chaleur === \[\dot{S_T} + \dot{E}_{H_2O}^{w\rightarrow v}L + div(\vec{V}_T) - Q_T = 0\] Où $S_T$ représente la quantité de chaleur emmagasinée, $L$ la chaleur latente de vaporisation, $\vec{V}_T$ le flux de chaleur et $Q_T$ une source de chaleur en volume.\\ Cette dernière équation peut être transformée en utilisant l'équation de bilan de la vapeur d'eau: \[ \dot{S_T} + \dot{S}_vL + div(\vec{V}_T) + div(\vec{V}_v) L - Q_T = 0 \] === Quantité de chaleur emmagasinée par unité de volume === La quantité d'enthalpie du système est définie comme la somme des contributions de chaque espèce du système: \[ S_T = H_m = \sum_i H_i = \sum_i \theta_i \rho_i c_{p,i} (T-T_0) \] Les contributions de chaque composante à l’enthalpie du système s'exprime selon : \[ \begin{array}{l} H_w = n.S_{r,w} \rho_w c_{p,w} (T-T_0) \\ H_a = n(1-S_{r,g})\rho_ac_{p,a} (T-T_0)\\ H_s = (1-n)\rho_s c_{p,s} (T-T_0)\\ H_v = n(1-S_{r,g})\rho_v c_{p,v} (T-T_0) \end{array} \] Un dernier terme, lié à la vaporisation de l’eau, contribue également à l'emmagasinement de chaleur et dépend de la quantité de vapeur et la chaleur latente de vaporisation. \[ H_{Lat} = nS_{r,g} \rho_{v} L \] === Transfert de la chaleur par unité de volume === \[ \vec{V_T} + \vec{V_v}L = \underbrace{- \Gamma_m \vec{\nabla}T}_{conduction} + \underbrace{\left[c_{p,w}\rho_w \vec{q}_l + c_{p,a}(\vec{i}_a + \rho_a \vec{q}_g) + c_{pv}(\vec{i}_v+\rho_v\vec{q}_g)\right](T-T_0)}_{convection} + \underbrace{\left[\vec{i}_v + \rho_v \vec{q}_g\right] L}_{Latente} \] === Equations d’état === - $\rho_w, \vec{f_w}, S_w$: Voir partie eau - $\rho_a, \vec{f_a}, S_a$ : Voir partie air - Les conductivités thermiques $\Gamma_w,\Gamma_a$ et $\Gamma_s$ : \[\begin{array}{l}\Gamma_w(T) = \Gamma_{w,0} + \Gamma_{w,0} \gamma_w^T (T-T_0)\\ \Gamma_a(T) = \Gamma_{a,0} + \Gamma_{a,0} \gamma_a^T (T-T_0)\\ \Gamma_s(T) = \Gamma_{s,0} + \Gamma_{s,0} \gamma_s^T (T-T_0) \end{array}\] - Les chaleurs spécifiques $c_{p,w},c_{p,a}$ et $c_{p,s}$ :\[\begin{array}{l} c_{p,w}(T) = c_{p,w0} + c_{p,w0} H_w^T (T-T_0) \\ c_{p,a}(T) = c_{p,a0} + c_{p,a0} H_a^T (T-T_0)\\ c_{p,s}(T) = c_{p,s0} + c_{p,s0} H_s^T (T-T_0)\end{array}\] ==== Files ==== Prepro: LWAVAT2.F \\ ===== Availability ===== |Plane stress state| NO | |Plane strain state| YES | |Axisymmetric state| YES | |3D state| YES | |Generalized plane state| NO | ===== Input file ===== ==== Parameters defining the type of constitutive law ==== ^ Line 1 (2I5, 60A1)^^ |IL|Law number| |ITYPE| 182 | |COMMENT| Any comment (up to 60 characters) that will be reproduced on the output listing| ==== Integer parameters ==== ^ Line 1 (18I5) ^^ |IANI|= 0, isotropic permeability case| |:::| ≠ 0, anisotropic permeability case| |IKW|formulation index for $k_w$| |IKA|formulation index for $k_a$| |ISRW|formulation index for $S_W$| |ITHERM|formulation index for $\Gamma_T$| |IVAP|= 0 if no vapour diffusion in the problem| |:::|= 1 else| |IFORM|= 1 tangent formulation \[ \left\{\begin{array}{l}f_{we} = \dot{M}_w = (\dot{\varepsilon}_v S_w + n S_w\frac{\dot{\rho}_w}{\chi_w} + n \dot{S}_w) \rho_w \\ f_{ae} = \dot{M}_a = (\dot{\varepsilon}_V S_a + n S_a\frac{\dot{p}_a}{p_a} + n \dot{S}_a) \rho_a \end{array}\right. \]| |:::|= 0 secant formulation \[ \left\{\begin{array}{l} f_{we} = \dot{M}_w = (n^BS_w^B\rho_w^B - n^AS_w^A\rho_w^A)/\Delta t \\ f_{ae} = \dot{M}_a = (n^BS_a^B\rho_a^B - n^AS_a^A\rho_a^A)/\Delta t \end{array}\right. \]| |ICONV|= 0 if no convectif term in the heat transport problem| |:::|= 1 else| |ITEMOIN|= 0 if analytic matrix (can be used only if IVAP = 0 if no vapour diffusion in the problem)| |:::|= 1 if semi-analytic matrix (can be used in all the problems)| |IKRN|= 1 if Kozeni-Karmann formulation| |:::|= 2, GDR Momas relation $K=f(n)$| |:::|= 3 Coupling permeability-deformation $K=f(\varepsilon_n)$ (only in 2D)| |IGAS|= 0 if gas is air| |:::|= 1 if gas is $H_2$| |:::|= 2 if gas is $N_2$| |:::|= 3 if gas is Ar| |:::|= 4 if gas is He| |:::|= 5 if gas is $CO_2$| |IENTH|= 0 if we define $\rho$ and $C_p$ for each constituent \[\left\{\begin{array}{l}H_w = N.S_{r,w} \rho_w c_{p,w} (T-T_0) \\ H_v = n(1-S_{r,w})\rho_v c_{p,v} (T-T_0)\\ H_a = n(1-S_{r,w})\rho_ac_{p,a} (T-T_0)\\ H_{a-d} = n S_{r,w} H\rho_ac_{p,a} (T-T_0)\\ H_s = (1-n)\rho_s c_{p,s} (T-T_0) \end{array}\right.\]| |:::|= 1 if we define $\rho C_p$ equivalent for the medium and constant \[H_m = \rho C_p (T-T_0)\]| |:::|= 2 if we define $\rho C_p$ equivalent for the medium depending on temperature: \[\left\{\begin{array}{l} \rho C_p = RHOC1\ \text{if }\ T>T_u \\ \rho C_p = RHOC2\ \text{if }\ T